Funktion f


\(\\\)

Aufgabe 1 Tangente

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\(\\\) Die allgemeine Gleichung der Tangente lautet

\( \quad t(x) \; = \; mx + b \)

\(\\\)

Wir setzen den Wendepunkt \(W( 4|8 )\) und die Steigung \(m=-4\) ein

\( \quad \begin{array}{ r c l l } 8 & = & -4 \cdot 4 + b & \\[6pt] 8 & = & -16 + b & | +16 \\[6pt] 24 & = & b \\ \end{array} \)

\(\\\)

und erhalten die Tangentengleichung mit

\( \quad t(x) \; = \; -4x + 24 \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 graphisches Ableiten

Dort wo die Steigung des Graphen von \(f\) Null ist, also bei \(x=2\) und bei \(x=8\),

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\(\\\) ist die Ableitungsfunktion \(f'(x)=0\). Das heißt, dass dort die Ableitungsfunktion Nullstellen besitzt.

Ebenso ist dort, wo der Wendepunkt liegt, also bei \(x=4\), eine minimale Steigung (oder ein größtes Gefälle) von \(f'(x)=-4\).
Beim Graphen der Ableitungsfunktion muss dort ein Tiefpunkt liegen mit \(T( 4|-4 )\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Funktion aufstellen

Wir benötigen 2 Ableitungen:

\( \quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & ax^4 \, + \, bx^3 \, + \, cx^2 \, + \, 16x \\[6pt] f'(x) & = & 4ax^3 \, + \, 3bx^2 \, + \, 2cx \, + \, 16 \\[6pt] f''(x) & = & 12ax^2 \, + \, 6bx \, + \, 2c \\ \end{array} \)

\(\\\)

\( \quad \begin{array}{ l l c r } & W( 4|8 ) & \Rightarrow & f(4)=8 \\[6pt] & & \Rightarrow & f''(4)=0 \\[6pt] & H( 2| y ) & \Rightarrow & f'(2)=0 \\ \end{array} \)

\(\\\)

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

\( \quad \begin{array}{ r r c l } \textrm{I} & 8 & = & a \cdot 4^4 + b \cdot 4^3 + c \cdot 4^2 + 16 \cdot 4 \\[6pt] \textrm{II} & 0 & = & 12a \cdot 4^2 + 6b \cdot 4 + 2c \\[6pt] \textrm{III} & 0 & = & 4a \cdot 2^3 \, + \, 3b \cdot 2^2 \, + \, 2c \cdot 2 \, + \, 16 \\ \end{array} \)

\(\\\)

\( \quad \begin{array}{ r r c l } \textrm{I} & 8 & = & 256a \, + 64b \,+ 16c \, + \, 64 \\[6pt] \textrm{II} & 0 & = & 192a \, + \, 24b \, + \, 2c \\[6pt] \textrm{III} & 0 & = & 32a \, + \, 12b \, + \, 4c \, + \, 16 \\ \end{array} \)

\(\\\)

Um das Gleichungssystem mit dem Taschenrechner zu berechnen, drehen wir das Gleichungssystem einmal um

\( \quad \begin{array}{ *{11}{r} } \textrm{I} & 256a & + & 64b & + & 16c & + & 64 & = & 8 & | - 64 \\[6pt] \textrm{II} & 192a & + & 24b & + & 2c & & & = & 0 \\[6pt] \textrm{III} & 32a & + & 12b & + & 4c & + & 16 & = & 0 & | - 16 \\ \end{array} \)

\(\\\)

\( \quad \begin{array}{ *{8}{r} } \textrm{I} & 256a & + & 64b & + & 16c & = & -56 \\[6pt] \textrm{II} & 192a & + & 24b & + & 2c & = & 0 \\[6pt] \textrm{III} & 32a & + & 12b & + & 4c & = & -16 \\ \end{array} \)

\(\\\)

Wir betätigen beim Casio fx-991 DE X die Taste \(\boxed{MENU}\). Wir gehen mit den Pfeiltasten nach rechts bis

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\(\\\)

erscheint und bestätigen mit \(\boxed{=}\). Es erscheint

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\(\\\)

Wir wählen Gleichungssystem indem wir die \(\boxed{1}\) drücken und nehmen ein Gleichungssystem mit

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\(\\\)

3 Unbekannten und drücken \(\boxed{3}\)

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\(\\\)

Nun \(\boxed{2}\) \(\boxed{5}\) \(\boxed{6}\) eingeben und mit \(\boxed{=}\) bestätigen.

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\(\\\)

So bis zum Ende fortfahren. Falls eine Stelle im Gleichungssystem nicht belegt ist, \(\boxed{0}\) drücken, auch wenn eine Null schon vorbelegt ist, und mit \(\boxed{=}\) bestätigen.

Nach der letzten Eingabe mit \(\boxed{=}\) erhalten wir diese Anzeige.

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\(\\\)

Wir bestätigen erneut mit \(\boxed{=}\).

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\(\\\)

Taste \(\boxed{=}\) drücken.

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\(\\\)

Taste \(\boxed{=}\) drücken.

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\(\\\)

Wir erhalten also die Werte

\( \quad \begin{array}{ r c r } a & = & -\frac{1}{32} \\[6pt] b & = & \frac{3}{4} \\[6pt] c & = & -6 \\ \end{array} \)

\(\\\)

und damit

\( \quad f(x) \; = \; - \frac{1}{32}x^4 \, + \, \frac{3}{4}x^3 \, - \, 6x^2 \, + \, 16x \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 4 Sattelpunkt

Für Sattelpunkte gilt

\( \quad f'(x) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad f''(x) \; = \; 0 \)

\(\\\)

Wir benötigen die beiden Ableitungen

\( \quad \begin{array}{ r c l } f'(x) & = & - \frac{1}{8}x^3 \, + \, \frac{9}{4}x^2 \, - \, 12x \, + \, 16 \\[6pt] f''(x) & = & - \frac{3}{8}x^2 \, + \, \frac{9}{2}x \, - \, 12 \\ \end{array} \)

\(\\\)

Setzen wir nun \(x=8\) in Funktion \(f\) und den Ableitungen ein, so erhalten wir

\( \quad \left. \begin{array}{ r c l c l } f(8) & = & - \frac{1}{32} \cdot 8^4 \, + \, \frac{3}{4} \cdot 8^3 \, - \, 6 \cdot 8^2 \, + \, 16 \cdot 8 & = & 0 \\[6pt] f'(8) & = & - \frac{1}{8} \cdot 8^3 \, + \, \frac{9}{4} \cdot 8^2 \, - \, 12 \cdot 8 \, + \, 16 & = & 0 \\[6pt] f''(8) & = & - \frac{3}{8} \cdot 8^2 \, + \, \frac{9}{2} \cdot 8 \, - \, 12 & = & 0 \\ \end{array} \right\} \; \Rightarrow \; \, \textrm{Sattelpunkt} \; S(8 | 0) \)

\(\\\)